A. L. S. A.

 

Associazione Livornese Scienze Astronomiche

 


DISPENSA N. 28
LE LEGGI DI KEPLERO
(a cura di Dino Orsucci)

Dopo il 1500, con l'affermarsi delle nuove teorie del sistema eliocentrico, che pone il Sole al centro del mondo conosciuto, vengono a crollare tutte quelle fantastiche ipotesi sulla forma dell'universo (teoria Tolemaica), che per tanti secoli aveva invece collocato al centro la Terra. La definitiva affermazione delle nuove idee (teoria Copernicana) si ebbe con Keplero (1571-1630), il quale, sulla base delle posizioni dei pianeti fatte dall'astronomo Tycho Brahe e ripudiando l'ipotesi del moto circolare uniforme, riuscì a riassumere in tre leggi le proprietà del moto dei Pianeti.

PRIMA LEGGE DI KEPLERO

I Pianeti ruotano intorno al Sole descrivendo un'orbita ellittica, di cui il Sole occupa uno dei fuochi.

La legge è valida universalmente, cioè si può applicare a qualunque corpo celeste che ruoti intorno ad un altro di massa maggiore. Vediamo di spiegarla in dettaglio.
Orbita ellittica significa che ha forma di un'ellisse, che è una curva piana, chiusa e simmetrica: presenta infatti due assi 'di simmetria' chiamati asse maggiore e asse minore ed ogni asse divide la figura in due parti uguali. Sull'asse maggiore si individuano due punti particolari, chiamati fuochi. L'ellisse ha molte proprietà geometriche particolari, la più interessante delle quali è che "la somma dei segmenti che uniscono ogni punto dell'ellisse ai due fuochi è costante".
Nella figura 1, la somma A + B = C + D


Figura 1

Questa proprietà consente di tracciare, sulla carta o sul terreno, un'ellisse perfetta:è citata spesso come 'ellisse del giardiniere' perché sfruttata appunto per disegnare aiuole di questa forma. Il metodo consiste nel piantare due paletti ad una certa distanza l'uno dall'altro, uniti da una corda più lunga di questa distanza: s'impugna un terzo paletto e con esso, tenendo sempre tesa la corda, si disegna una traccia che avrà forma ellittica.

Dalla proprietà ne derivano molte altre, che aiutano a spiegare perché i corpi celesti percorrono delle ellissi e non, per esempio, delle curve ovali o simili. E' anche da notare che un cerchio può essere considerato una particolare forma d'ellisse, nella quale i due fuochi si soprammettono perfettamente nel centro: ogni punto della circonferenza è distante dai due fuochi (cioè dal centro) di una misura uguale a 2 raggi, sempre costante, aderendo così alla definizione d'ellisse.

Un corpo celeste che ruota, o meglio rivoluziona, intorno ad un altro, è sottoposto a due forze che agiscono contemporaneamente: la forza che gli imprime la sua velocità che per inerzia lo spingerebbe ad allontanarsi, e la forza d'attrazione che invece tenderebbe a farlo avvicinare. Se una delle due forze avesse il sopravvento sull'altra, effettivamente il corpo minore scapperebbe nello spazio allontanandosi per sempre, oppure precipiterebbe sul corpo maggiore. Si può dimostrare matematicamente che se le due forze variano entro certi limiti, l'orbita che ne deriva è un'ellisse più o meno allungata, se invece sono perfettamente bilanciate (cosa rara) l'orbita è circolare.

Livorno, ottobre 2001

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DISPENSA N. 29
SECONDA LEGGE DI KEPLERO
(a cura di Dino Orsucci)

Le aree descritte dalla congiungente Sole - pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle.

Con altre parole si può enunciare: il segmento Sole - pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.

Il significato è lo stesso. Cerchiamo di spiegarlo e di trarre qualche considerazione.


Figura n. 1

Le aree A e B hanno la stessa superficie, ma mentre la prima è lunga e stretta, la seconda è corta e larga. La terra nel suo moto di rivoluzione passa dalla posizione 1 a quella 2, impiegando un certo tempo e lo stesso tempo le occorre per passare dalla 3 alla 4. Ne deriva che, dovendo percorrere archi di diversa lunghezza, la velocità è diversa. Pertanto risulta evidente che quando la Terra è lontana dal Sole viaggia più lentamente di quando è vicina.

Non dobbiamo però confonderci e pensare che questo fenomeno abbia qualche relazione con le stagioni. In realtà l'eccentricità dell'orbita non è così accentuata come nella figura, ove è stata esagerata a scopo dimostrativo. Le nostre stagioni non dipendono dalla distanza Terra-Sole, ma dall'inclinazione dell'asse terrestre che resta costante per tutta la durata dell'anno e fa sì che in una determinata zona i raggi cadano più o meno obliqui.

Livorno, Ottobre 2001

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DISPENSA N. 30
TERZA LEGGE DI KEPLERO
(a cura di Dino Orsucci)

[Disp. 28 e Disp. 29] Generalmente questa legge viene enunciata nella sua forma semplificata, valida nell'ambito del sistema solare:

I cubi delle distanze dei pianeti dal Sole sono proporzionali ai quadrati dei rispettivi periodi di rotazione

Questa "scoperta", conseguita del tutto empiricamente, consentì a Keplero di calcolare con precisione le distanze medie dal Sole (in Unità Astronomiche) di tutti i pianeti allora conosciuti. Restavano incerte le misure reali, in quanto non si conosceva la vera distanza Terra-Sole.
Vediamo in pratica come si utilizza questa "legge". Se prendiamo in considerazione due pianeti che abbiano periodi orbitali P1 e P2 e rispettive distanze dal Sole D1 e D2, essa ci consente di impostare la seguente proporzione:

Esempio pratico.
Si calcoli la distanza media di Giove dal Sole, sapendo che il suo periodo di rivoluzione è di anni 11,86.
La soluzione è facilitata se si prende la Terra come pianeta di riferimento, avendo essa il periodo di rivoluzione = 1 anno e distanza media dal Sole = 1 U.A. Pertanto la precedente proporzione diventa:



A questo punto però è lecito domandarci: com'è possibile che nei calcoli non vengano considerate le rispettive masse dei pianeti? Se al posto di Giove ci fosse stato un pianetino di massa trascurabile, il periodo orbitale e la distanza sarebbero stati le stesse? La risposta va ricercata in una formulazione più "completa" di questa legge, universalmente valida ed ampiamente utilizzata in Astronomia, come per esempio nei calcoli inerenti alle stelle doppie, che molto spesso hanno masse non molto dissimili. Nell'ambito del sistema solare tale formula, che nell'esempio che segue considera il pianeta Terra ed il Sole, sarebbe:

Precisiamo che: MT è la massa della Terra, MS quella del Sole, D è ovviamente la distanza tra i due corpi e P il periodo orbitale;
k è invece una costante che, per distanze espresse in milioni di chilometri e periodi in giorni, vale circa 0,0398. Per distanze espresse in UA e periodi in anni, k vale 1.
Se utilizzeremo quest'ultime unità di misura, la formula ne risulta semplificata e diventa


Volendo essere più precisi, per non creare in seguito confusione, aggiungiamo una "T" ai precedenti dati che riguardano la Terra:


Gli analoghi dati riferiti ad un altro pianeta, esempio Giove, saranno:

Sappiamo che nel sistema solare oltre il 99,8% della materia è concentrata nel Sole: ne deriva che le somme delle masse Terra+Sole e Giove+Sole, sono praticamente uguali. Sulla base di questa considerazione, le due equazioni possono condensarsi in un'unica formula:


che può essere scritta

Si sostituiscono ora i simboli T e G con 1 e 2:

che è la stessa, scritta sotto altra forma, enunciata in principio in forma generica:


Livorno, novembre 2001

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DISPENSA N. 31
I MOTI DEI PIANETI
(a cura di Dino Orsucci)

[Disp. 28, Disp. 29, Disp. 30] Abbiamo appreso come i Pianeti ruotino intorno al Sole seguendo regole rigorose che l'astronomo Keplero (1571 - 1630) riuscì per primo a condensare nelle sue tre famose leggi.

Per l'astrofilo alle prime armi, che si propone di trarre diletto dall'osservazione dei corpi celesti ed in particolare di Luna e Pianeti, tutto ciò ha valore accademico e gli è utile solamente se è interessato ad approfondire le sue conoscenze d'Astronomia.
Ben più importante per lui è sapere che le orbite dei pianeti, Terra compresa, giacciono tutte all'incirca su uno stesso piano. Se ora immaginiamo il sistema solare come un grande tavolo rotondo con il Sole al centro, tutti i pianeti percorreranno le loro orbite ruzzolando sul tavolo o almeno discostandosene di ben poco. La conseguenza di tutto ciò è che noi dalla Terra, che giace sull'ipotetico tavolo, vedremo i pianeti muoversi in cielo su una stessa linea, che è quella (denominata eclittica) percorsa dal Sole nel suo apparente moto diurno.
Questo insegna all'astrofilo principiante che quando tenta di individuare i pianeti nel cielo notturno, deve andare a cercarli nei pressi dell'arco percorso dal Sole e non altrove.

Un fatto evidente è che i pianeti, come ogni altro astro, sorgono all'incirca da Est per poi tramontare verso Ovest. Questo apparente movimento nel cielo è dovuto, come tutti sanno, non ai movimenti propri dei pianeti, ma alla rotazione su se stessa della Terra compiuta nelle 24 ore. Invece i moti di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole sono così lenti da non essere avvertiti ad occhio nel corso di poche ore d'osservazione; però si possono apprezzare col passare dei giorni e delle settimane osservando la loro posizione nei confronti delle stelle dello sfondo, e così vedremo che essi si spostano lentamente da ovest verso est. Questo lento moto rispetto alle stelle è in fin dei conti il fenomeno che già dalla notte dei tempi ha fatto denominare i pianeti "stelle erranti". Comunque non è del tutto vero che lo spostamento descritto sia uniforme nel tempo: anzi, talvolta i pianeti sembrano fermarsi, poi tornare brevemente indietro ed infine riprendere il loro corso normale. Pertanto si parla comunemente del tal Pianeta 'stazionario' o in 'moto retrogrado'.

L'astronomia tolemaica tentò di dare una spiegazione a questo fenomeno, ma avendo una concezione del tutto erronea della configurazione del sistema solare, non vi riuscì, nonostante le fantasiose ipotesi sulle orbite dei pianeti. Solo con l'affermarsi delle teorie copernicane, che disegnarono una geometria esatta delle posizioni dei pianeti e del Sole, si è capito appieno la natura del fenomeno, dovuto semplicemente alla diversa prospettiva sotto la quale noi vediamo i singoli pianeti, che si muovono, dal nostro punto di vista, che pure si muove.

Le figure che seguono illustrano rispettivamente il verificarsi del moto retrogrado sia dei pianeti esterni (più lontani di noi dal Sole) che di quelli interni (che orbitano tra Terra e Sole).

Livorno, Ottobre 2001

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